向量计算器
二维与三维向量在线计算：加减、数乘、点积、叉积、模长、单位化、夹角、投影、混合积，并判断向量是否平行、垂直、共面。
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向量输入
输入用逗号或空格分隔的数字，例如「3, 4」或「1, 2, 3」。
结果
11这个工具能做什么
- 做线性代数作业时核对结果：点积、叉积、混合积、单位向量与夹角一次算完，不用手推中间步骤。
- 判断两条方向向量是平行还是垂直、三个向量是否共面（混合积为 0 即共面），比对着公式一个个算不容易出错。
- 求一个力在某个方向上的分量：用「a 在 b 上的投影」直接得到投影向量，做物理题很顺手。
- 写图形程序时快速验算：归一化方向向量、算两向量夹角，确认法线朝向是否正确。
示例
输入
维度二维，运算「点积 a·b」，向量 a = 3, 4，向量 b = 1, 0
输出
结果数值 11
点积 3×1 + 4×0 = 11；把运算换成「a 在 b 上的投影」，同样的输入会得到 (3, 0)。
常见问题
为什么二维向量不能算叉积？
二维叉积的结果是标量（即 a₁b₂ − a₂b₁，等于两向量张成的平行四边形有向面积），不存在垂直于平面的第三个分量。本工具只实现三维叉积，二维时会提示「维度只支持二维或三维」，需要判断二维平行请直接用「是否平行」。
零向量为什么算不了单位向量和夹角？
零向量的方向未定义，a/|a| 会除以 0，cosθ = (a·b)/(|a||b|) 也会出现 0/0，因此这两种运算会报错。投影也有同样的问题：投影目标为零向量时没有投影方向。
平行、垂直、共面的判断有误差吗？
判断用的是与向量长度无关的相对容差 1e-9：平行看 |a×b| ≤ ε|a||b|，垂直看 |a·b| ≤ ε|a||b|，共面看 |a·(b×c)| ≤ ε|a||b||c|。这样即使输入 0.333333 这类近似值也不会因为浮点误差给出反直觉的结果。
输入格式有什么要求？
用逗号、空格或分号分隔的数字，数量必须与所选维度一致，例如二维写「3, 4」、三维写「1, 2, 3」。数字个数不对会提示格式错误，不会给出错误答案。
夹角显示的是度还是弧度？
两者都显示。内部按 cosθ = (a·b)/(|a||b|) 求出弧度再换算成度，角度范围是 0°–180°，不会出现负角。
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