多项式运算
多项式加减乘、Horner 法求值、综合除法与余数/因式定理、有理根查找、一至三次求根公式与高次数值近似，并给出因式分解形式。
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多项式输入
系数按降幂用空格或逗号分隔，缺项要写 0（x^3 + 1 写作 1 0 0 1）；运算全部在本地完成。
结果
1 , 2 , 3
3三次卡尔达诺公式1, 2, 3(x - 1)(x - 2)(x - 3)1 , 2 , 3这个工具能做什么
- 做多项式章节的作业：加减乘、求值、综合除法、求根一次搞定，结果直接抄进解题过程。
- 用 Horner 中间值检查手算过程：求值结果旁边会列出每一步的中间数，和自己的竖式逐项对照就能定位错在哪。
- 需要因式分解时先看有理根和因式定理：输入系数就能拿到 (x − 1)(x − 2)(x − 3) 这种分解式，比试根法快得多。
- 画图前先摸清根的分布：四次以上没有有理根时会用 Durand–Kerner 数值迭代给出全部近似根，包括复根。
示例
输入
p(x) = 2x³ − 3x + 1（系数 2 0 -3 1），x = 2，求值
输出
11；Horner 中间值 2 → 4 → 5 → 11；次数 3
系数必须按降幂写并补齐缺项：2x³ − 3x + 1 的系数是 2 0 -3 1，漏掉中间的 0 会得到完全不同的多项式。
常见问题
系数要怎么填？
按降幂排列，用空格或逗号分隔，缺项补 0：x³ + 1 写成 1 0 0 1，2x³ − 3x + 1 写成 2 0 -3 1。方括号和换行都会被忽略，所以从代码里复制数组也直接可用。
求根用的是什么方法？
一次直接用 −b/a，二次用求根公式，三次用卡尔达诺公式（判别式为负时走三角函数分支保证三个实根稳定）。四次及以上先用有理根定理降次，剩下三次以内的继续套公式，超过三次才用 Durand–Kerner 数值迭代。
有理根是怎么找出来的？
按有理根定理：既约分数 p/q 若是整系数多项式的根，p 必整除常数项、q 必整除首项系数。工具枚举这些候选值代入验证，所以结果既不会漏也不会多；系数不是整数时会跳过这一步。
综合除法和高次求根的结果有多准？
综合除法是精确的整数/有理运算。高次没有有理根时走数值迭代，结果按 8 位有效数字收敛，一般误差在 1e-8 以内；如果需要严格的根式表达，请降到三次以内。
次数有限制吗？
最多支持 20 次多项式。次数太高时数值迭代的条件数会迅速变差，显示出来的近似根已经没有参考价值，所以工具会直接提示而不是给出一串不可靠的数字。
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