泊松分布计算
给定 λ 与 k 计算泊松分布的 P(X = k)、累积概率 P(X ≤ k) 与 P(X > k)、期望方差与众数，并给出分布表与二项分布近似的对照。
浏览器本地运行所有计算都在你的浏览器里完成，数据不会离开本机。
结果
0.2240420.4231900.576810331.7320513| k | P(X = k) | P(X ≤ k) |
|---|---|---|
| 0 | 0.049787 | 0.049787 |
| 1 | 0.149361 | 0.199148 |
| 2 | 0.224042 | 0.423190 |
| 3 | 0.224042 | 0.647232 |
| 4 | 0.168031 | 0.815263 |
| 5 | 0.100819 | 0.916082 |
令 λ = n·p：n 越大、p 越小，二项分布越接近泊松分布。
30.2240420.2251530.001111这个工具能做什么
- 排队与到达问题：把「平均每小时来 3 个电话」代入 λ = 3，直接算出「恰好来 2 个」「不超过 3 个」的概率。
- 质量控制与计数数据：单位面积缺陷数、每分钟粒子数、网站每分钟访问量这类稀有事件计数，通常都用泊松分布建模。
- 核对课本答案：同时给出 P(X = k)、P(X ≤ k)、P(X > k) 与期望方差，写作业时不用反复查表。
- 判断能不能用泊松近似二项分布：输入 n 与 p，对照两种分布在同一点的概率差值，差值小就说明近似可用。
示例
输入
λ = 3，k = 2（二项分布对照：n = 100，p = 0.03）
输出
P(X = 2) = 0.224042，P(X ≤ 2) = 0.423190，P(X > 2) = 0.576810，期望 3、方差 3、标准差 1.732051、众数 3；二项分布 P(X = 2) = 0.227474，差值 0.003432
λ = 3 时 P(X = 0) = e^-3 ≈ 0.049787，可以用它快速验证工具是否算对。
常见问题
泊松分布和实际问题的对应关系是什么？
它描述「固定时间或空间内稀有事件的发生次数」：电话呼入数、放射性衰变次数、网页访问量、印刷缺陷数。只要事件彼此独立、发生率稳定，λ 就是这段时间内的平均次数，同时也是方差。
P(X = k) 里的 e^(−λ) 是怎么算的，会不会溢出？
工具用对数形式 ln P(X = k) = k·ln λ − λ − ln k! 计算，其中 ln k! 用 Lanczos 近似求 ln Γ(k + 1)。这样 k 到上千时也不会出现 k! 溢出成 Infinity、再除出 NaN 的情况。
什么时候可以用泊松近似二项分布？
当 n 很大而 p 很小时，取 λ = n·p 即可，经验法则是 n ≥ 20 且 p ≤ 0.05。n 越大、p 越小误差越小：n = 100、p = 0.03 时差值约 0.0034，n = 10000、p = 0.0003 时差值会小一个量级。
为什么期望和方差都等于 λ？
这是泊松分布的定义性质：E[X] = Var[X] = λ。实际数据里如果样本方差明显大于均值（过散布），说明数据不适合用泊松分布，应该考虑负二项分布等更宽的模型。
众数为什么是 ⌊λ⌋？
相邻两项之比 P(X = k+1)/P(X = k) = λ/(k+1)，只要 k + 1 < λ 概率就在上升，越过 λ 之后开始下降，所以概率最大的 k 是 ⌊λ⌋。λ 为整数时 ⌊λ⌋ 与 λ − 1 概率相同，两个都是众数，这里取 ⌊λ⌋。
关键词：poisson distributionprobability mass functioncumulative probabilitylambdabinomial approximation泊松分布概率质量函数累积概率期望方差二项分布近似上尾概率