坐标几何
平面解析几何计算：两点距离与中点、斜率与直线方程（一般式/斜截式/两点式）、点到直线距离、两直线交点与夹角、平行垂直判断、圆的方程与点圆位置、三角形与多边形面积。
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几何参数
直线一般式写作 A x + B y + C = 0；多边形顶点按「x,y」逐点填写，用分号或换行分隔。
结果
5这个工具能做什么
- 做解析几何作业时核对答案：两点距离、中点、斜率、直线方程三种写法一次算完，还能看到推导结果对不对。
- 判断两条直线是平行还是垂直、求交点与夹角，比手工消元快，平行时还会明确告诉你没有唯一交点。
- 圆的一般式与标准式互转：输入 D、E、F 直接得到圆心与半径，或者输入圆心半径得到一般式方程。
- 算不规则地块或图纸上多边形的面积：把顶点按顺序填进去，鞋带公式直接给出面积，凸凹多边形都适用。
示例
输入
计算类型「多边形面积（鞋带公式）」，顶点 0,0; 1,0; 1,1; 0,1
输出
顶点数 4，面积 1，周长 4
单位正方形用鞋带公式算出的面积正好是 1；顶点顺时针输入也得到同样的面积（取绝对值）。
常见问题
垂直线为什么算不出斜率？
斜率定义为 Δy/Δx，垂直线的 Δx = 0，除零没有意义，所以本工具在斜率模式下会提示「垂直线没有斜率」。直线方程模式下依然可以正常工作，会给出一般式与 x = c 的写法。
两条直线平行时会怎样？
平行（含重合）意味着方程组没有唯一解，求交点会提示「两直线平行或重合，没有唯一交点」。夹角模式下则会显示 0° 并且「是否平行」为是。
圆的半径算出来是负数是怎么回事？
一般式 x² + y² + D x + E y + F = 0 只有当 D² + E² − 4F ≥ 0 时才表示实圆，半径是 √(D²+E²−4F)/2。若 D² + E² − 4F < 0，方程没有实数解，工具会提示圆不存在。
多边形顶点的顺序有影响吗？
面积取鞋带公式结果的绝对值，所以顺时针、逆时针都一样，但从任意一个顶点开始、顶点必须按沿边顺序排列，交叉的自相交多边形结果没有几何意义。
判断平行、垂直和共线有容差吗？
有，用的是相对容差 1e-9：平行看 |A₁B₂ − A₂B₁| 相对法向量长度，垂直看点积相对法向量长度，共线看坐标法面积相对各项乘积的量级。这样像 1/3 这样的近似输入不会因为浮点误差判反。
关键词：coordinate geometryline equationdistance formulashoelace formulacircle equationpoint to line distance坐标几何解析几何直线方程点到直线距离圆的方程鞋带公式